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Mathématiques
Seconde générale
9 chapitres · Cours · Exercices corrigés · Flashcards · Quiz · Timer
📘 Programme complet de Seconde
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🔢 Les ensembles de nombres
Tous les nombres utilisés en Seconde appartiennent à l'un des ensembles suivants, emboîtés les uns dans les autres.
Chaîne d'inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
| Symbole | Nom | Forme | Exemples |
|---|
| ℕ | Entiers naturels | 0, 1, 2, 3, … | 0 ; 5 ; 42 |
| ℤ | Entiers relatifs | … −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 … | −7 ; 0 ; 13 |
| 𝔻 | Décimaux | a / 10ᵖ (a ∈ ℤ, p ∈ ℕ) | 0,25 ; −2,5 |
| ℚ | Rationnels | a/b (a ∈ ℤ, b ∈ ℤ*) | 1/3 ; 22/7 ; −5/6 |
| ℝ | Réels | tous les nombres de la droite | √2 ; π ; e |
Notations utiles : ℕ* = ℕ ∖ {0} · ℤ* = ℤ ∖ {0} · ℝ⁺ = [0 ; +∞[ · ℝ⁻ = ]−∞ ; 0]
Attention : 1/3 est rationnel mais pas décimal (0,3333… infini). √2 est irrationnel (ℝ mais pas ℚ).
⚡ Puissances
Puissance entière positiveaⁿ = a × a × … × a (n facteurs)
Cas particuliers : a⁰ = 1 (si a ≠ 0), a¹ = a, a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (si a ≠ 0)
Propriétés fondamentalesaᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ · aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Pièges : (−2)² = 4 mais −2² = −4. Et (a + b)² ≠ a² + b².
🔬 Notation scientifique
Tout décimal s'écrit de façon unique a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 et n ∈ ℤ.
| Nombre | Notation scientifique |
|---|
| 1 234 | 1,234 × 10³ |
| 0,000 045 | 4,5 × 10⁻⁵ |
| −35 000 000 | −3,5 × 10⁷ |
√ Racines carrées
Pour a ≥ 0, √a est l'unique nombre positif dont le carré vaut a.
Définition(√a)² = a · √(a²) = |a|
Propriétés (a, b ≥ 0) : √(a × b) = √a × √b · √(a/b) = √a / √b (b > 0)
Attention : √(a + b) ≠ √a + √b !
Valeurs à connaître : √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10, √144=12.
✖️ Calcul littéral — développer, factoriser
Les 3 identités remarquables :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Distributivité : k(a+b) = ka + kb · (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
Développer = passer d'une forme factorisée à une somme. Factoriser = l'inverse. Chercher un facteur commun ou reconnaître une identité.
Vocabulaire — Nombres et calculs
Entier naturel
0, 1, 2, 3, … dans ℕ
Décimal
Nombre fini de chiffres après la virgule
Rationnel
Quotient a/b avec b ≠ 0
Irrationnel
Réel non rationnel (√2, π, e…)
Inverse
Inverse de a = 1/a (a ≠ 0)
Identité remarquable
Égalité toujours vraie
Notation scientifique
a × 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10
🗂️ Flashcards — à retourner
Entiers naturels : 0, 1, 2, 3, …
Entiers relatifs : … −2, −1, 0, 1, 2 …
Rationnels : a/b avec b ≠ 0
Réels : tous les nombres de la droite
(a+b)²
Clique pour retourner
(a−b)²
Clique pour retourner
(a+b)(a−b)
Clique pour retourner
√(ab)
Clique pour retourner
aᵐ × aⁿ
Clique pour retourner
(aᵐ)ⁿ
Clique pour retourner
Ranger par ensemble
Indiquer le plus petit ensemble contenant : 7, −3, 0,25, 1/3, √2, −5/2
• 7 ∈ ℕ (entier naturel)
• −3 ∈ ℤ (entier relatif)
• 0,25 = 25/100 ∈ 𝔻 (décimal)
• 1/3 ∈ ℚ (pas décimal : 0,333… infini)
• √2 ∈ ℝ (irrationnel)
• −5/2 = −2,5 ∈ 𝔻
Développer et réduire
A(x) = (2x − 3)² − (x + 1)(x − 1)
(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
(x + 1)(x − 1) = x² − 1
A(x) = 4x² − 12x + 9 − x² + 1 = 3x² − 12x + 10
Factoriser
B(x) = (x − 4)(2x + 1) + (x − 4)(3x − 5)
Facteur commun (x − 4) :
B(x) = (x − 4)[(2x + 1) + (3x − 5)] = (x − 4)(5x − 4)
Radicaux
Écrire a√b : C = √75 − 2√27 + √48
√75 = √(25×3) = 5√3
2√27 = 2√(9×3) = 6√3
√48 = √(16×3) = 4√3
C = 5√3 − 6√3 + 4√3 = 3√3
Puissances de 10
D = (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷) / (6 × 10⁻²)
D = (3 × 2 / 6) × 10⁽⁴⁻⁷⁺²⁾
D = 1 × 10⁻¹ = 0,1
🧠
Carte mentale — Nombres et calculs
Visualise les liens entre les notions clés
📏 Comparer des réels
Règles : on garde le sens en ajoutant/soustrayant, en multipliant/divisant par un positif. On change le sens en multipliant/divisant par un négatif.
| Opération | Sur a < b (avec k > 0) | Avec k < 0 |
|---|
| + k | a + k < b + k | a + k < b + k |
| × k | ka < kb | ka > kb ⚠️ |
📐 Intervalles de ℝ
| Intervalle | Inégalités | Description |
|---|
| [a ; b] | a ≤ x ≤ b | fermé |
| ]a ; b[ | a < x < b | ouvert |
| [a ; b[ | a ≤ x < b | demi-ouvert |
| ]a ; +∞[ | x > a | demi-droite ouverte |
| ]−∞ ; a] | x ≤ a | demi-droite fermée |
Crochet ouvert = borne exclue. Fermé = incluse. +∞ et −∞ sont toujours avec crochet ouvert.
🎯 Encadrement décimal
Encadrement à 10⁻ⁿ prèsa / 10ⁿ ≤ x < (a + 1) / 10ⁿ
Troncature : a/10ⁿ (on coupe). Arrondi : le plus proche des deux encadrants.
Exemple — π ≈ 3,14159 :
3,1415 ≤ π < 3,1416
Troncature à 10⁻⁴ : 3,1415
Arrondi à 10⁻⁴ : 3,1416
📊 Valeur absolue
Définition|a| = a si a ≥ 0, −a si a < 0
La valeur absolue = distance à 0. |x − a| = distance entre x et a.
Vocabulaire
Intervalle
Réels entre deux bornes
Borne ouverte
Exclue, crochet ouvert
Borne fermée
Incluse, crochet fermé
Troncature
On coupe après n décimales
Arrondi
Plus proche encadrant
Valeur absolue
Distance à 0
Écrire avec un intervalle
(a) x ≥ 4 (b) −2 < x ≤ 5 (c) |x| ≤ 3
(a) [4 ; +∞[
(b) ]−2 ; 5]
(c) |x| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x ≤ 3 ⟺ [−3 ; 3]
Encadrements
2 ≤ x ≤ 5 et 3 ≤ y ≤ 7. Encadrer x + y, x − y et 3x.
Somme : 5 ≤ x + y ≤ 12
Différence : −7 ≤ −y ≤ −3, donc −5 ≤ x − y ≤ 2
3x : 6 ≤ 3x ≤ 15
Troncature et arrondi
x = 12,3567. Donner troncature et arrondi à 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³.
| Précision | Troncature | Arrondi |
|---|
| 10⁻¹ | 12,3 | 12,4 |
| 10⁻² | 12,35 | 12,36 |
| 10⁻³ | 12,356 | 12,357 |
Inéquation
Résoudre : −3(x + 2) ≥ 2x − 1
−3x − 6 ≥ 2x − 1 ⟹ −5x ≥ 5
On divise par −5 ⚠️ change de sens : x ≤ −1
S = ]−∞ ; −1]
🧠
Carte mentale — Ordre dans ℝ
Visualise les liens entre les notions clés
📐 Aires
| Figure | Aire |
|---|
| Carré (côté c) | c² |
| Rectangle (L × ℓ) | L × ℓ |
| Triangle (base B, hauteur h) | (B × h) / 2 |
| Parallélogramme | B × h |
| Trapèze (b, B, h) | (B + b) × h / 2 |
| Disque (R) | πR² |
📦 Volumes
| Solide | Volume |
|---|
| Cube (c) | c³ |
| Pavé (L × ℓ × h) | L × ℓ × h |
| Prisme (base B, h) | B × h |
| Cylindre (R, h) | πR² × h |
| Pyramide (B, h) | (1/3) × B × h |
| Cône (R, h) | (1/3) × πR² × h |
| Boule (R) | (4/3) × πR³ |
Conversions : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
✳️ Droites remarquables du triangle
Médiatrice
Perpendiculaire au milieu. M ∈ médiatrice ⟺ MA = MB
Médiane
Sommet → milieu du côté opposé
Hauteur
Sommet, perpendiculaire au côté opposé
Bissectrice
Partage un angle en deux. M ∈ bissectrice ⟺ équidistant des 2 côtés
📏 Pythagore
Direct : ABC rectangle en A ⟹ BC² = AB² + AC² (BC hypoténuse)
Réciproque : si BC² = AB² + AC², alors ABC rectangle en A.
📐 Thalès
Si M ∈ (AB), N ∈ (AC) et (MN) // (BC), alors :
Égalité des rapportsAM/AB = AN/AC = MN/BC
📊 Trigonométrie — SOH-CAH-TOA
Dans un triangle rectanglecos = adj/hyp · sin = opp/hyp · tan = opp/adj
Valeurs particulières :
cos(30°) = √3/2, sin(30°) = 1/2, tan(30°) = 1/√3
cos(45°) = sin(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
cos(60°) = 1/2, sin(60°) = √3/2, tan(60°) = √3
Vocabulaire
Hypoténuse
Côté opposé à l'angle droit
Médiatrice
Perpendiculaire au milieu
Médiane
Sommet-milieu du côté opposé
Hauteur
Sommet-perpendiculaire côté opposé
Bissectrice
Coupe un angle en deux
Alternes-internes
Égaux si parallèles
Thalès
Rapports égaux, droites parallèles
Pythagore direct
ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Calculer BC.
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm.
Réciproque de Pythagore
ABC : AB = 5, AC = 12, BC = 13. Rectangle ?
BC² = 169 et AB² + AC² = 25 + 144 = 169.
Donc BC² = AB² + AC². Par la réciproque : rectangle en A.
Thalès
(MN) // (BC), AM = 3, AB = 5, BC = 8. Calculer MN.
AM/AB = MN/BC ⟹ 3/5 = MN/8
MN = 8 × 3/5 = 4,8
Trigonométrie
ABC rectangle en A, AB = 7 cm, B̂ = 40°. Calculer AC.
tan(B̂) = opposé/adjacent = AC/AB
AC = 7 × tan(40°) ≈ 7 × 0,839 ≈ 5,9 cm
🧠
Carte mentale — Géométrie
Visualise les liens entre les notions clés
🎯 Équations — règles
Une équation a une inconnue. Résoudre = trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie.
Opérations préservant les solutions : ajouter/soustraire un nombre, multiplier/diviser par non nul.
✖️ Équation-produit : A × B = 0
Produit nulA × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Stratégie : ramener l'équation à « produit = 0 » en factorisant.
≶ Inéquations
Règles :
• × ou ÷ par positif : garde le sens
• × ou ÷ par négatif : change le sens ⚠️
🔢 Systèmes 2×2
| Géométrie | Solutions |
|---|
| Droites sécantes | 1 |
| Strictement parallèles | 0 (∅) |
| Confondues | ∞ |
Substitution : exprimer une inconnue, remplacer.
Combinaison linéaire : additionner pour éliminer.
Vocabulaire
Équation
Égalité avec inconnue
Solution
Valeur rendant vraie
Produit nul
A×B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Inéquation
Inégalité avec inconnue
Système
Plusieurs équations ensemble
Équation-produit
(2x − 6)(x + 5) = 0
2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0
x = 3 ou x = −5. S = {−5 ; 3}
Factoriser puis résoudre
x² − 7x = 0
x(x − 7) = 0 ⟹ x = 0 ou x = 7. S = {0 ; 7}
Inéquation
(4x + 1)/3 < (−2x − 1)/3
× 3 : 4x + 1 < −2x − 1 ⟹ 6x < −2 ⟹ x < −1/3
S = ]−∞ ; −1/3[
Système par substitution
{ x + y = 3 ; 2x − y = 0 }
De la 2ème : y = 2x. Remplace dans la 1ère : x + 2x = 3 ⟹ x = 1, y = 2.
S = {(1 ; 2)}
Système par combinaison
{ 3x + 2y = 7 ; 5x − 2y = 9 }
Addition : 8x = 16, donc x = 2.
3(2) + 2y = 7 ⟹ y = 1/2. S = {(2 ; 1/2)}
🧠
Carte mentale — Équations et inéquations
Visualise les liens entre les notions clés
📐 Définition
Une fonction f sur D associe à chaque x ∈ D un unique réel f(x).
Notationf : D ⟶ ℝ ; x ⟼ f(x)
Vocabulaire : f(x) = image de x. Si f(a) = b, a est un antécédent de b.
Attention : un nombre a au plus une image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ex : 4 a deux antécédents par x² : 2 et −2).
📈 Courbe représentative
𝒞f = ensemble des points M(x ; f(x)) avec x ∈ D.
Lecture graphique :
• Image de a : ordonnée du point d'abscisse a
• Antécédents de k : abscisses des points d'ordonnée k (intersection avec y = k)
↗️ Sens de variation
Croissante sur I : a ≤ b ⟹ f(a) ≤ f(b) (conserve l'ordre).
Décroissante sur I : a ≤ b ⟹ f(a) ≥ f(b) (inverse l'ordre).
On résume dans un tableau de variations.
🔺 Extremums
Maximum = plus grande valeur. Minimum = plus petite. Extremum = l'un ou l'autre.
🔄 Résolutions graphiques
f(x) = k : abscisses de 𝒞f ∩ droite y = k
f(x) = g(x) : abscisses de 𝒞f ∩ 𝒞g
f(x) ≥ k : abscisses où 𝒞f est au-dessus de y = k
Vocabulaire
Fonction f
x ⟼ f(x) unique
Ens. définition D
Valeurs autorisées
Antécédent de k
x tel que f(x) = k (0, 1 ou plusieurs)
Courbe 𝒞f
Points M(x ; f(x))
Croissante
a ≤ b ⟹ f(a) ≤ f(b)
Décroissante
a ≤ b ⟹ f(a) ≥ f(b)
Images et antécédents
f(x) = 2x² − 3. Calculer f(0), f(−2), f(1/2). Antécédents de 5.
f(0) = −3, f(−2) = 5, f(1/2) = −5/2.
Antécédents de 5 : 2x² − 3 = 5 ⟺ x² = 4 ⟺ x = −2 ou 2.
Ensemble de définition
f(x) = 3/(x − 2) et g(x) = √(x + 5)
f : x − 2 ≠ 0, donc Df = ℝ ∖ {2}.
g : x + 5 ≥ 0, donc Dg = [−5 ; +∞[.
Variation
f strictement croissante sur [0;10], f(3) = 2, f(7) = 6. Comparer f(4) et f(6).
4 < 6 dans [0;10] ⟹ f(4) < f(6).
🧠
Carte mentale — Fonctions généralités
Visualise les liens entre les notions clés
➡️ Définition
Un vecteur 𝐮⃗ : direction + sens + norme ‖𝐮⃗‖.
𝐮⃗ = 𝐯⃗ ⟺ même direction, même sens, même norme.
Vecteur nul 𝟎⃗ : norme 0.
📍 Vecteur AB⃗
Propriété : AB⃗ = CD⃗ ⟺ ABDC est un parallélogramme.
➕ Somme — relation de Chasles
Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
En coordonnées𝐮⃗(x; y) + 𝐯⃗(x'; y') = (x + x'; y + y')
✖️ Produit par un réel
k·𝐮⃗ : même direction, sens identique si k > 0, opposé si k < 0, norme |k| × ‖𝐮⃗‖.
Coordonnéesk·𝐮⃗(x ; y) = (kx ; ky)
📐 Coordonnées dans un repère
Vecteur AB⃗AB⃗ (xB − xA ; yB − yA)
Norme (repère orthonormé)‖AB⃗‖ = √((xB−xA)² + (yB−yA)²)
Milieu de [AB]I((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)
🔄 Colinéarité
𝐮⃗ et 𝐯⃗ colinéaires ⟺ ∃ k tel que 𝐯⃗ = k·𝐮⃗.
Critère (coordonnées)𝐮⃗(x;y), 𝐯⃗(x';y') colinéaires ⟺ xy' − yx' = 0
Applications :
• AB⃗ et CD⃗ colinéaires ⟺ (AB) // (CD)
• AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ A, B, C alignés
🎯 Théorème des milieux
Dans ABC, si I milieu de [AB] et J milieu de [AC] : BC⃗ = 2·IJ⃗
Donc (IJ) // (BC) et IJ = BC/2.
Milieu : I milieu de [AB] ⟺ AI⃗ = IB⃗ ⟺ AI⃗ = (1/2)·AB⃗.
Vocabulaire
Vecteur
Direction + sens + norme
Coordonnées
A(−1;4), B(3;1), C(5;7). Calculer AB⃗, BC⃗ et AB⃗ + BC⃗.
AB⃗ = (4 ; −3), BC⃗ = (2 ; 6)
AB⃗ + BC⃗ = (6 ; 3)
Vérif Chasles : AC⃗ = (6 ; 3) ✓
Points alignés
A(1;2), B(3;5), C(7;11). Alignés ?
AB⃗ = (2;3), AC⃗ = (6;9)
Critère : 2×9 − 3×6 = 0. Donc alignés.
Parallélogramme
A(−2;1), B(4;3), C(6;7), D(0;5). ABCD est-il un parallélogramme ?
ABCD parallélogramme ⟺ AB⃗ = DC⃗.
AB⃗ = (6 ; 2), DC⃗ = (6 ; 2). Égaux. ABCD parallélogramme.
🧠
Carte mentale — Vecteurs
Visualise les liens entre les notions clés
📏 Fonction affine
f(x) = ax + bℝ → ℝ
Propriétés : courbe = droite. a = coefficient directeur (pente). b = ordonnée à l'origine.
a > 0 : ↗ · a < 0 : ↘ · a = 0 : constante
🔲 Fonction carré
f(x) = x²sur ℝ
Variations : ↘ sur ]−∞;0], ↗ sur [0;+∞[. Minimum en 0, valeur 0.
Parité : paire. Courbe symétrique par (Oy). Parabole ouverte vers le haut.
➗ Fonction inverse
f(x) = 1/xsur ℝ ∖ {0}
Variations : strictement ↘ sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[. ⚠️ Pas décroissante sur ℝ* !
Parité : impaire. Courbe = hyperbole, symétrique par O.
√ Fonction racine carrée
f(x) = √xsur [0 ; +∞[
Variations : strictement ↗ sur [0 ; +∞[.
Comparaisons : sur [0 ; 1] : x ≤ √x. Sur [1 ; +∞[ : √x ≤ x.
🎲 Fonction cube
f(x) = x³sur ℝ
Variations : strictement ↗ sur ℝ.
Parité : impaire, courbe symétrique par O.
⚖️ Parité
Prérequis : D symétrique par rapport à 0 (x ∈ D ⟹ −x ∈ D).
Paire : f(−x) = f(x). Symétrique par (Oy).
Impaire : f(−x) = −f(x). Symétrique par O.
Une fonction peut n'être ni l'un ni l'autre (cas fréquent).
Résumé
| Fonction | Ens. déf. | Variations | Parité |
|---|
| ax + b | ℝ | selon a | ni (sauf b=0) |
| x² | ℝ | ↘ ℝ⁻, ↗ ℝ⁺ | paire |
| 1/x | ℝ* | ↘ ℝ⁻*, ↘ ℝ⁺* | impaire |
| √x | [0;+∞[ | ↗ | ni |
| x³ | ℝ | ↗ | impaire |
Comparaison avec carré
Comparer (−7)² et 5².
(−7)² = 49 et 5² = 25. (−7)² > 5².
Sur [0;+∞[, x² croît, et 7 > 5 donc 7² > 5². Or (−7)² = 7². Donc (−7)² > 5².
Comparaison avec inverse
Comparer 1/3 et 1/7.
3, 7 ∈ ]0;+∞[ où 1/x est strictement décroissante. 3 < 7 ⟹ 1/3 > 1/7.
Parité
f(x) = 3x² + 1 sur ℝ. Parité ?
1) D = ℝ symétrique. ✓
2) f(−x) = 3(−x)² + 1 = 3x² + 1 = f(x).
f est paire, courbe symétrique par (Oy).
🧠
Carte mentale — Fonctions usuelles
Visualise les liens entre les notions clés
➕➖ Signe d'une expression affine
Pour f(x) = ax + b (a ≠ 0), racine x₀ = −b/a :
« ax + b » est du signe de a après sa racine.
Si a > 0 : négatif avant x₀, positif après. Si a < 0 : l'inverse.
📊 Tableau de signes — produit
1
Trouver les valeurs annulant chaque facteur.
2
Les placer dans l'ordre croissant.
3
Étudier le signe de chaque facteur.
4
Appliquer la règle des signes.
Exemple : f(x) = (2x − 5)(−3x + 8). Racines : 5/2 et 8/3.
| x | −∞ | | 5/2 | | 8/3 | | +∞ |
|---|
| 2x − 5 | | − | 0 | + | | + | |
| −3x + 8 | | + | | + | 0 | − | |
| f(x) | | − | 0 | + | 0 | − | |
➗ Quotient — valeur interdite
Attention : le dénominateur ne doit pas s'annuler. Exclure cette valeur (double barre « ‖ » dans le tableau).
🎯 Applications
Inéquation f(x) ≥ 0 : lire les x pour lesquels la ligne f(x) est + ou 0.
Position relative de courbes : comparer f(x) et g(x) ⟺ signe de f(x) − g(x).
Vocabulaire
Tableau de signes
Résume les signes sur ℝ
Valeur interdite
Dénominateur nul
Règle des signes
+×+=+, −×−=+, +×−=−
Signe d'un produit
f(x) = (x − 3)(2x + 1). Signe ?
Racines : 3 et −1/2.
| x | −∞ | | −1/2 | | 3 | | +∞ |
|---|
| x − 3 | | − | | − | 0 | + | |
| 2x + 1 | | − | 0 | + | | + | |
| f(x) | | + | 0 | − | 0 | + | |
f(x) ≥ 0 sur ]−∞;−1/2] ∪ [3;+∞[.
Signe d'un quotient
h(x) = (x + 2)/(x − 1). Signe ?
Racine num. : −2. Valeur interdite : 1.
| x | −∞ | | −2 | | 1 | | +∞ |
|---|
| x + 2 | | − | 0 | + | | + | |
| x − 1 | | − | | − | 0 | + | |
| h(x) | | + | 0 | − | ‖ | + | |
h(x) > 0 sur ]−∞;−2[ ∪ ]1;+∞[.
Inéquation-produit
Résoudre (x − 4)(−2x + 6) > 0
Racines : 4 et 3.
| x | −∞ | | 3 | | 4 | | +∞ |
|---|
| x − 4 | | − | | − | 0 | + | |
| −2x + 6 | | + | 0 | − | | − | |
| produit | | − | 0 | + | 0 | − | |
Produit > 0 sur ]3 ; 4[.
🧠
Carte mentale — Signe produit/quotient
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📐 Équations de droites
Équation réduitey = mx + p
m : coefficient directeur ; p : ordonnée à l'origine.
Équation cartésienneax + by + c = 0, (a, b) ≠ (0, 0)
Droites verticales : x = k, sans coefficient directeur.
➡️ Vecteur directeur
Si D : ax + by + c = 0, alors 𝐮⃗(−b ; a) est vecteur directeur.
Réciproquement : si 𝐮⃗(α ; β) dirige D et A(xA; yA) ∈ D, alors M(x;y) ∈ D ⟺ AM⃗ et 𝐮⃗ colinéaires, soit β(x − xA) − α(y − yA) = 0.
⫽ Droites parallèles
D // D' ⟺ vecteurs directeurs colinéaires ⟺ même coefficient directeur (si non verticales).
🔢 Systèmes 2×2
| Géométrie | Solutions |
|---|
| Sécantes | 1 couple |
| Strictement parallèles | 0 (∅) |
| Confondues | ∞ |
Substitution ou combinaison linéaire : voir Chapitre IV.
Vocabulaire
Équation réduite
y = mx + p
Équation cartésienne
ax + by + c = 0
Vecteur directeur
𝐮⃗(−b ; a) si cartésienne
Droites //
Vect. dir. colinéaires
Équation cartésienne
Droite D par A(1;4) de vecteur directeur 𝐮⃗(2;−3).
M(x;y) ∈ D ⟺ AM⃗ et 𝐮⃗ colinéaires.
AM⃗(x−1 ; y−4), critère : (x−1)(−3) − (y−4)(2) = 0
−3x + 3 − 2y + 8 = 0 ⟹ 3x + 2y − 11 = 0
Position relative
D : 3x − 2y + 5 = 0 et D' : 6x − 4y − 1 = 0. Parallèles ?
Vect. dir. de D : 𝐮⃗(2 ; 3). Vect. dir. de D' : 𝐯⃗(4 ; 6).
Critère : 2×6 − 3×4 = 0. Colinéaires ⟹ parallèles.
Test d'un point : (0 ; 5/2) ∈ D mais 6×0 − 4×5/2 − 1 = −11 ≠ 0 ∉ D'. Strictement parallèles.
Système
{ 6x − 4y = 5 ; −9x + 6y = −10 }
On multiplie la 1ère par 3 et la 2ème par 2 : { 18x − 12y = 15 ; −18x + 12y = −20 }.
Addition : 0 = −5 (faux). S = ∅. Droites strictement parallèles.
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Carte mentale — Droites et systèmes
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🍅 Timer Pomodoro
La méthode Pomodoro : 25 min de travail focus, puis 5 min de pause. Après 4 cycles, prends une pause longue de 15 min.
🍅 Focus
25:00
📝 Conseils de révision
Active recall — Referme ton cours et essaie de reformuler l'idée avec tes propres mots. Les quiz et flashcards de ce site sont parfaits pour ça.
Répétition espacée — Revois le cours à J+1, J+3, J+7. Plus efficace qu'un marathon avant le contrôle.
Interleaving — Alterne entre plusieurs matières ou chapitres dans la même session plutôt que de bloquer sur un seul.
Sommeil — Ne néglige jamais ton sommeil avant un DST. La consolidation mémoire se fait la nuit.