Mathématiques
Seconde générale
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Nombres et calculs
Ensembles ℕ ℤ 𝔻 ℚ ℝ · Puissances · Racines carrées · Calcul littéral
Tous les nombres utilisés en Seconde appartiennent à l'un des ensembles suivants, emboîtés les uns dans les autres.
| Symbole | Nom | Forme | Exemples |
|---|---|---|---|
| ℕ | Entiers naturels | 0, 1, 2, 3, … | 0 ; 5 ; 42 |
| ℤ | Entiers relatifs | … −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 … | −7 ; 0 ; 13 |
| 𝔻 | Décimaux | a / 10ᵖ (a ∈ ℤ, p ∈ ℕ) | 0,25 ; −2,5 |
| ℚ | Rationnels | a/b (a ∈ ℤ, b ∈ ℤ*) | 1/3 ; 22/7 ; −5/6 |
| ℝ | Réels | tous les nombres de la droite | √2 ; π ; e |
Tout décimal s'écrit de façon unique a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 et n ∈ ℤ.
| Nombre | Notation scientifique |
|---|---|
| 1 234 | 1,234 × 10³ |
| 0,000 045 | 4,5 × 10⁻⁵ |
| −35 000 000 | −3,5 × 10⁷ |
Pour a ≥ 0, √a est l'unique nombre positif dont le carré vaut a.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Développer = passer d'une forme factorisée à une somme. Factoriser = l'inverse. Chercher un facteur commun ou reconnaître une identité.
Indiquer le plus petit ensemble contenant : 7, −3, 0,25, 1/3, √2, −5/2
• 7 ∈ ℕ (entier naturel)
• −3 ∈ ℤ (entier relatif)
• 0,25 = 25/100 ∈ 𝔻 (décimal)
• 1/3 ∈ ℚ (pas décimal : 0,333… infini)
• √2 ∈ ℝ (irrationnel)
• −5/2 = −2,5 ∈ 𝔻
A(x) = (2x − 3)² − (x + 1)(x − 1)
(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
(x + 1)(x − 1) = x² − 1
A(x) = 4x² − 12x + 9 − x² + 1 = 3x² − 12x + 10
B(x) = (x − 4)(2x + 1) + (x − 4)(3x − 5)
Facteur commun (x − 4) :
B(x) = (x − 4)[(2x + 1) + (3x − 5)] = (x − 4)(5x − 4)
Écrire a√b : C = √75 − 2√27 + √48
√75 = √(25×3) = 5√3
2√27 = 2√(9×3) = 6√3
√48 = √(16×3) = 4√3
C = 5√3 − 6√3 + 4√3 = 3√3
D = (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷) / (6 × 10⁻²)
D = (3 × 2 / 6) × 10⁽⁴⁻⁷⁺²⁾
D = 1 × 10⁻¹ = 0,1
Carte mentale — Nombres et calculs
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Ordre dans ℝ
Intervalles · Encadrement · Troncature · Arrondi
| Opération | Sur a < b (avec k > 0) | Avec k < 0 |
|---|---|---|
| + k | a + k < b + k | a + k < b + k |
| × k | ka < kb | ka > kb ⚠️ |
| Intervalle | Inégalités | Description |
|---|---|---|
| [a ; b] | a ≤ x ≤ b | fermé |
| ]a ; b[ | a < x < b | ouvert |
| [a ; b[ | a ≤ x < b | demi-ouvert |
| ]a ; +∞[ | x > a | demi-droite ouverte |
| ]−∞ ; a] | x ≤ a | demi-droite fermée |
3,1415 ≤ π < 3,1416
Troncature à 10⁻⁴ : 3,1415
Arrondi à 10⁻⁴ : 3,1416
La valeur absolue = distance à 0. |x − a| = distance entre x et a.
(a) x ≥ 4 (b) −2 < x ≤ 5 (c) |x| ≤ 3
(a) [4 ; +∞[
(b) ]−2 ; 5]
(c) |x| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x ≤ 3 ⟺ [−3 ; 3]
2 ≤ x ≤ 5 et 3 ≤ y ≤ 7. Encadrer x + y, x − y et 3x.
Somme : 5 ≤ x + y ≤ 12
Différence : −7 ≤ −y ≤ −3, donc −5 ≤ x − y ≤ 2
3x : 6 ≤ 3x ≤ 15
x = 12,3567. Donner troncature et arrondi à 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³.
| Précision | Troncature | Arrondi |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | 12,3 | 12,4 |
| 10⁻² | 12,35 | 12,36 |
| 10⁻³ | 12,356 | 12,357 |
Résoudre : −3(x + 2) ≥ 2x − 1
−3x − 6 ≥ 2x − 1 ⟹ −5x ≥ 5
On divise par −5 ⚠️ change de sens : x ≤ −1
S = ]−∞ ; −1]
Carte mentale — Ordre dans ℝ
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Problèmes de géométrie
Aires · Volumes · Angles · Droites remarquables · Pythagore · Thalès · Trigo
| Figure | Aire |
|---|---|
| Carré (côté c) | c² |
| Rectangle (L × ℓ) | L × ℓ |
| Triangle (base B, hauteur h) | (B × h) / 2 |
| Parallélogramme | B × h |
| Trapèze (b, B, h) | (B + b) × h / 2 |
| Disque (R) | πR² |
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cube (c) | c³ |
| Pavé (L × ℓ × h) | L × ℓ × h |
| Prisme (base B, h) | B × h |
| Cylindre (R, h) | πR² × h |
| Pyramide (B, h) | (1/3) × B × h |
| Cône (R, h) | (1/3) × πR² × h |
| Boule (R) | (4/3) × πR³ |
Si M ∈ (AB), N ∈ (AC) et (MN) // (BC), alors :
cos(30°) = √3/2, sin(30°) = 1/2, tan(30°) = 1/√3
cos(45°) = sin(45°) = √2/2, tan(45°) = 1
cos(60°) = 1/2, sin(60°) = √3/2, tan(60°) = √3
ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Calculer BC.
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm.
ABC : AB = 5, AC = 12, BC = 13. Rectangle ?
BC² = 169 et AB² + AC² = 25 + 144 = 169.
Donc BC² = AB² + AC². Par la réciproque : rectangle en A.
(MN) // (BC), AM = 3, AB = 5, BC = 8. Calculer MN.
AM/AB = MN/BC ⟹ 3/5 = MN/8
MN = 8 × 3/5 = 4,8
ABC rectangle en A, AB = 7 cm, B̂ = 40°. Calculer AC.
tan(B̂) = opposé/adjacent = AC/AB
AC = 7 × tan(40°) ≈ 7 × 0,839 ≈ 5,9 cm
Carte mentale — Géométrie
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Équations et inéquations
Produit nul · Inéquations · Systèmes 2×2
Une équation a une inconnue. Résoudre = trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie.
• × ou ÷ par positif : garde le sens
• × ou ÷ par négatif : change le sens ⚠️
| Géométrie | Solutions |
|---|---|
| Droites sécantes | 1 |
| Strictement parallèles | 0 (∅) |
| Confondues | ∞ |
(2x − 6)(x + 5) = 0
2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0
x = 3 ou x = −5. S = {−5 ; 3}
x² − 7x = 0
x(x − 7) = 0 ⟹ x = 0 ou x = 7. S = {0 ; 7}
(4x + 1)/3 < (−2x − 1)/3
× 3 : 4x + 1 < −2x − 1 ⟹ 6x < −2 ⟹ x < −1/3
S = ]−∞ ; −1/3[
{ x + y = 3 ; 2x − y = 0 }
De la 2ème : y = 2x. Remplace dans la 1ère : x + 2x = 3 ⟹ x = 1, y = 2.
S = {(1 ; 2)}
{ 3x + 2y = 7 ; 5x − 2y = 9 }
Addition : 8x = 16, donc x = 2.
3(2) + 2y = 7 ⟹ y = 1/2. S = {(2 ; 1/2)}
Difficulté progressive : premier degré, distribution, identité remarquable, produit nul, équation impossible, discriminant, simplification préalable, racine double. Validation immédiate avec correction expliquée. Entrée valide ; Entrée à nouveau passe à la question suivante.
Format de réponse : 3, x = 3, 3 ; -4, x = 3 ; x = -4, pas de solution, aucune ou ∅. L'ordre des solutions n'a pas d'importance.
Quiz interactif d'équations du premier et second degré, avec validation et correction expliquée.
;. « pas de solution » accepté.Carte mentale — Équations et inéquations
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Fonctions — généralités
Image · Antécédent · Courbe · Variations · Extremums
Une fonction f sur D associe à chaque x ∈ D un unique réel f(x).
𝒞f = ensemble des points M(x ; f(x)) avec x ∈ D.
• Image de a : ordonnée du point d'abscisse a
• Antécédents de k : abscisses des points d'ordonnée k (intersection avec y = k)
On résume dans un tableau de variations.
f(x) = 2x² − 3. Calculer f(0), f(−2), f(1/2). Antécédents de 5.
f(0) = −3, f(−2) = 5, f(1/2) = −5/2.
Antécédents de 5 : 2x² − 3 = 5 ⟺ x² = 4 ⟺ x = −2 ou 2.
f(x) = 3/(x − 2) et g(x) = √(x + 5)
f : x − 2 ≠ 0, donc Df = ℝ ∖ {2}.
g : x + 5 ≥ 0, donc Dg = [−5 ; +∞[.
f strictement croissante sur [0;10], f(3) = 2, f(7) = 6. Comparer f(4) et f(6).
4 < 6 dans [0;10] ⟹ f(4) < f(6).
Bascule entre f(x) = ax + b et f(x) = ax² + bx + c, déplace les curseurs et observe en direct le tracé, les racines, le sommet (parabole), l'ordonnée à l'origine et le discriminant. Toggle pas 0.1 / pas 1 pour explorer en finesse ou rester en valeurs scolaires. Survole la courbe pour lire f(x) en n'importe quel point.
Visualiseur interactif de fonctions affines et du second degré, avec curseurs pour les coefficients, bascule du pas, exemples pré-réglés, lecture des racines, sommet, ordonnée à l'origine, axe de symétrie et curseur de survol.
Carte mentale — Fonctions généralités
Visualise les liens entre les notions clés
Vecteurs
Chasles · Coordonnées · Colinéarité · Théorème des milieux
Un vecteur 𝐮⃗ : direction + sens + norme ‖𝐮⃗‖.
k·𝐮⃗ : même direction, sens identique si k > 0, opposé si k < 0, norme |k| × ‖𝐮⃗‖.
𝐮⃗ et 𝐯⃗ colinéaires ⟺ ∃ k tel que 𝐯⃗ = k·𝐮⃗.
• AB⃗ et CD⃗ colinéaires ⟺ (AB) // (CD)
• AB⃗ et AC⃗ colinéaires ⟺ A, B, C alignés
Donc (IJ) // (BC) et IJ = BC/2.
A(−1;4), B(3;1), C(5;7). Calculer AB⃗, BC⃗ et AB⃗ + BC⃗.
AB⃗ = (4 ; −3), BC⃗ = (2 ; 6)
AB⃗ + BC⃗ = (6 ; 3)
Vérif Chasles : AC⃗ = (6 ; 3) ✓
A(1;2), B(3;5), C(7;11). Alignés ?
AB⃗ = (2;3), AC⃗ = (6;9)
Critère : 2×9 − 3×6 = 0. Donc alignés.
A(−2;1), B(4;3), C(6;7), D(0;5). ABCD est-il un parallélogramme ?
ABCD parallélogramme ⟺ AB⃗ = DC⃗.
AB⃗ = (6 ; 2), DC⃗ = (6 ; 2). Égaux. ABCD parallélogramme.
Bascule entre u + v, u − v et k · u. Drag les pointes des vecteurs (souris ou doigt) pour modifier leurs coordonnées — le résultat se met à jour en direct. Snap au demi-carreau pour rester pédagogique. 4 mini-exos en bas pour s'entraîner ; les exos marqués 1ʳᵉ portent sur la norme (au programme de première).